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Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988cite-ref-1[1] entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14,82 weitere Dezimalstellen.cite-ref-2[2] Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:cite-ref-baruah-3-0[3]

1 π π = 12 ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) k ( 6 k ) ! ( 545140134 k + 13591409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 640320 3 k + 3 / 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.\!}

Dieser Algorithmus wurde seitdem für die meisten Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.

• Entwicklung

• Einzelnachweise

Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl π π {\displaystyle \pi } konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte τ τ = 1 + i n 2 {\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {n}}}{2}}} mit natürlichen Zahlen n {\displaystyle n} , um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für die j-Funktion j ( τ τ ) := 1728 J ( τ τ ) {\displaystyle j(\tau ):=1728J(\tau )} und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität

∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ ( 1 6 ( 1 − − s 2 ( τ τ ) ) + k ) ( 6 k ) ! ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 1 j ( τ τ ) k = − − J ( τ τ ) π π 1 n ( 1 − − J ( τ τ ) ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{6}}(1-s_{2}(\tau ))+k\right){\frac {(6k)!}{(3k)!(k!)^{3}}}{\frac {1}{j(\tau )^{k}}}={\frac {\sqrt {-J(\tau )}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {n(1-J(\tau ))}}},}

die den durch Eisensteinreihen definierten Term

s 2 ( τ τ ) = E 4 ( τ τ ) E 6 ( τ τ ) ( E 2 ( τ τ ) − − 3 π π I m ( τ τ ) ) {\displaystyle s_{2}(\tau )={\frac {E_{4}(\tau )}{E_{6}(\tau )}}\left(E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi \mathrm {Im} (\tau )}}\right)}

beinhaltet.cite-ref-4[4] Dabei bezeichnet k ! {\displaystyle k!} die Fakultät von k {\displaystyle k} . Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts τ τ = 1 + i 163 2 {\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}} der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl π π {\displaystyle \pi } extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert j ( 1 + i 163 2 ) {\displaystyle j\left({\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)} ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man j ( τ τ ) {\displaystyle j(\tau )} allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung j ( τ τ ) = e − − 2 π π i τ τ + 744 + 196 884 e 2 π π i τ τ + ⋯ ⋯ {\displaystyle j(\tau )=e^{-2\pi i\tau }+744+196\,884e^{2\pi i\tau }+\dotsb } , dass für Werte τ τ {\displaystyle \tau } mit größerem Imaginärteil die Zahl j ( τ τ ) {\displaystyle j(\tau )} bereits sehr nahe an e − − 2 π π i τ τ + 744 {\displaystyle e^{-2\pi i\tau }+744} liegt. In der Tat findet mancite-ref-bruinier-73-5-0[5]

e π π 163 = 262 537 412 640 768 743 , 999 999 999 999 250 … … . {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}\,999\,999\,999\,999\,250\ldots .}

Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:cite-ref-6[6]

Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von πcite-ref-baruah-3-1[3] und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.

cite-note-11. ↑ David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky: Approximation and complex multiplication according to Ramanujan. In: Ramanujan revisited: proceedings of the centenary conference. 1988.

cite-note-22. ↑ FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022

cite-note-baruah-33. ↑ Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1/π: a survey. In: American Mathematical Monthly. Band 116, Nr. 7, 2009, S. 567–587, doi:10.4169/193009709X458555, JSTOR:40391165.

cite-note-44. ↑ Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1 / π π {\displaystyle 1/\pi } : A survey. Mathematics Student, S. 576.

cite-note-bruinier-73-55. ↑ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.

cite-note-66. ↑ Lorenz Milla: Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie. 2018, arxiv:1809.00533.